Cuando precisamos conocer el valor de una variable en la población, debemos estimarla a partir de los datos obtenidos de muestras extraídas de esa población. Los intervalos de confianza nos permiten aproximar, una vez calculado el valor de la variable en la muestra, entre qué rango de valores se encuentra el valor real inaccesible de la variable en la población, con un grado de incertidumbre que podemos determinar.

 1. Si se tiene una estimación puntual de un parámetro y también un intervalo de confianza de dicho parámetro, ¿Cuál de los dos da mayor información y por qué?

La estimación puntual es un sólo valor, da poca información, es de utilidad para comprobar el comportamiento de un parámetro. La estimación puntual es sensible a los efectos de los valores atípico de una muestra. 

Un intervalo de confianza te asegura con cierto porcentaje de confianza 90%,95%, 99%, el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra dentro del intervalo encontrado. El intervalo de confianza da mucha más información a la hora de estimar un parámetro. 

2. ¿Puede tomarse un intervalo de confianza con una confianza del 100%?,¿Por qué?

No se puede tomar un intervalo de confianza del 100%, cuando se estima un parámetro es necesario una muestra, de determinado tamaño para que sea eficaz. Casi nunca se toma para el estudio toda la población con una característica de interés, por factores de tiempo y costo. 

Además los intervalos siempre tendrán un margen de error: Si es de 99% de confianza tendrá 1% de error. el de 98% su margen de error sería del 2%. Siempre existiriá un error al momento de la estadística inferencial, error que se desea minimizar. 

3. Para estudiar cierta característica en los alumnos de la Facultad de Ciencias de la Salud, se necesita una muestra de 200 alumnos ¿Como escogerías a estos alumnos?

Tomaría el número de identificación de todos los estudiantes de la facultad y extraería la muestra de 200 alumnos, luego mediriá la característica. Sería una muestra donde todos los alumnos tienen posibilidad de ser escogidos y una muestra totalmente aleatoria. 

4. ¿Qué le ocurre a la anchura de los intervalos de confianza cuando el tamaño de muestra aumenta?

Cuando la muestra aumenta el denominador de el error muestral aumenta, con lo que el error muestral disminuye. En general, al aumentar el tamaño de la muestra, el intervalo disminuye, siendo la estimación mucho más precisa.

5. Al lanzar una moneda al aire 20 veces, salen 12 caras. ¿Cuál es la estimación puntual de la probabilidad de cara? ¿Es evidente que la moneda está trucada?, ¿Por qué?

\(n=20\) \(X=12\) 

La estimación puntual es \(p=\frac{12}{20}=0,6\)

Se esperaba 0,5 y no 0,6 pero al lanzar la moneda 20 veces salieron 12 caras, no significa que la moneda está trucada, al aumentar el tamaño de la muestra, la probabilidad de cara se aproximará a 0,5. 

6. Un intervalo de confianza al 95%, ¿Es más estrecho que uno al 99%?, ¿Por qué?

El intervalo de 95% es más amplio que el de 99% de confianza. Debido a que el de 95% presenta más margen de error. 

7. En una encuesta sanitaria, realizada en las viviendas (o familias) de una región, para valorar el nivel de higiene postural de los menores de 12 años durante su estancia en casa, se estimó, en primer lugar, el porcentaje de viviendas (familia) en las que el nivel de higiene postural de los menores era aceptable (se establecieron unos criterios al respecto). En tal estimación se obtuvo un margen de error del 6% (confianza del 94%). ¿Que quiere decir este 6%?

El 6% es el porcentaje de error que se está dispuesto a asumir en el estudio, también se conoce como la probabilidad de una observación que no se encuentre en el intervalo.

8. a. ¿Es útil un IC con una altísima confianza y una gran anchura?

Un intervalo con mucha confianza es de utilidad a pesar que tenga mucha anchura

    b. ¿Es útil un IC con poca confianza y muy estrecho?

Es de poca utilidad porque tiene poca confianza. 

9. En una muestra aleatoria de 25 varones de entre 15 y 19 años, se obtuvo que el consumo medio diario de energía (medido en kilocalorías) fue de 2879,93 con una desviación típica de 852,4. Suponiendo que el consumo diario de energía sigue una distribución normal, ¿Calcula el intervalo de confianza para el consumo medio de calorías al 95%? Interpreta el resultado.

\(n: 25\)  \(\bar{X}= 2879,93\)    \(S=852,4\)      95%

\(\bar{X}\pm Z_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\)

\(2879,93\pm (2,06)\frac{852,4}{\sqrt 25}\)

\([2528,74;3231,11]\)

10. La proporción (prevalencia) de una determinada patología en una población se ha estimado en el 15,7%, con un margen de error del 4,1% (con una confianza del 95%).

a. Interprete estos resultados. 

Proporción prevalencia: \(15,7%\)

Margen de error: \(4,1\)                 Confianza:\(95%\)

Se estima la proporción de una determinada patología y es de 15,7%. No menciona el tamaño de la muestra, una estimación puntual no es muy exacta, la interpretación puede que no sea la realidad. 

b. ¿Entre que valores estimarías que se encuentra la prevalencia de dicha patología en la citada población?

La solución de a. es mediante un intervalo de confianza. No es posible establecer un intervalo en este ejemplo, porque es necesario el tamaño de la muestra. 

c. ¿Calcula el tamaño de la muestra necesario para un error del 3% con una confianza del 90?

Error: \(3%\)                                Confianza: \(90%\)

\(n= \frac{(Z_\alpha/2) P(1-p)}{(error)^2}\)

\(n= \frac{(1,64)^2(0,157)(1-0,15)}{(0,03)^2}\)

\(n=395,52\simeq396\)

11. Una empresa fabrica bombonas de oxígeno que tienen un tiempo de duración con una distribución aproximadamente normal con una desviación típica de 40 horas. Si una muestra de 49 bombonas de oxígeno tiene una vida promedio de 780 horas, calcula:

a. El I.C al 95% de confianza para la media poblacional de todas las bombonas producidas por esta empresa. 

\(\sigma=40\)                \(n=49\)              \(\bar{X}= 780\)

\(\bar{X}\pm Z_{\alpha /2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

\(780\pm 1,96\frac{40}{\sqrt 40}\)

\([768,8;791,2]\)

Con 95% de confianza, la vida promedio de las bombonas se encuentra entre \([768,8;791,2]\) horas. 

b. El tamaño muestral necesario para un error (precisión) de 12 horas a un nivel de confianza del 95%. 

Error:\(12\)                        Confianza:\(95%\)                         Z=1,96

\(n=\frac {Z^2 \sigma ^2}{(error)^2}\)

\(n=\frac{(1,96)^2(40)^2}{(40)^2}\)

\(n=42,68\simeq 43\) bombonas de oxígeno

12. En un centro de rehabilitación, se pretende hacer un estudio sobre la efectividad de cierta terapia de rehabilitación. Para ello se selecciona una muestra de 300 pacientes y al 80% les resulta efectiva.

a. Obtén un intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de pacientes a los que les resulta efectiva la terapia. Centro de rehabilitación 


Efectividad terapia 

\(P=0,80\)                                   \(n=300\)

\(P\pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{P(1-P)}{n}}\)

\(0,80\pm 1,96\sqrt{\frac{0,8(1-0,80)}{300}}\)

El intervalo es:

\([0,7547;0,8452]\)

b. A un nivel de confianza del 90% ¿Cuál debería ser el tamaño de muestra para que la precisión fuera del 3%?

Nivel de confianza del \(90%\)                          \(Error:3%\)

\(n=\frac{Z^2 P(1-P)}{error^2}\)

\(Z_{\alpha/2}=Z_{0,1/2}=Z_{0,05}\)

\(\frac{1,64^2(0,8)(1-0,8)}{(0.03)^2}\)

\(n=4,7815\simeq 478\)  pacientes 

13. La ingesta diaria de proteína de los 36 pacientes que forman una muestra aleatoria es de 130 gr y la desviación típica 80 gr. Suponiendo que la ingesta diaria sigue una distribución normal, calcula:

a. El intervalo de confianza al 99% para la ingesta media diaria de proteína de la población a la que representa la muestra. 

\(n:36\)           \(\bar{X}:130gr\)            \(S:80gr\)



\(\bar{X}\pm Z_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{36}}\)

\(Z_{\alpha /2}=Z_{0,01//2}=Z_{0,005}=2,57\)

\(130\pm 2,57\frac{80}{\sqrt{36}}\)

El intervalo es: 

\([95,73;164,26]\)

b. A un nivel de confianza del 99% el tamaño de muestra necesario para un error de 25 gr 

 

Confianza: \(99%\)                    \(Error:25\)

\(n=\frac{(Z_{\alpha /2})^2 S^2}{(Error)^2}\)

\(\frac{(2,57)^2(80)^2}{(25)^2}\)

\(n=67,63\simeq 68\) pacientes 

14. Los responsables de una clínica quieren estimar para el año 2018 la proporción de días con habitaciones desocupadas.

a. Calcula el tamaño de muestra necesario para estimar dicha porporción con un error muestral igual a 0.1, para un nivel de confianza de 90%

Finalmente se decidió tomar una muestra aleatoria de 100 días de los últimos dos  años, resultando que en 70 de ellos existieron habitaciones desocupadas:

b. Calcula el intervalo de confianza ( nivel 90%) que se obtuvo con esta muestra. 

\(n=36\)             \(\bar{X}=130\)              \(S=80\)

a)\(\bar{X}=\pm Z_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\)

\(Z_{\alpha /2}=Z_{0,01/2}=Z_{0,0005}=2,57\)

\(130\pm 2,57\frac{80}{\sqrt{36}}\)

El intervalo es: 

\([95,73;164,26]\)

b) Tamaño de muestra                                            Confianza:\(99%\)                              Error:\(25\)

\(n=\frac{(Z_{\alpha /2})^2 S^2}{error^2}\)

\(=\frac{(2,57)^2(80)^2}{25^2}\)

\(n=67,63\simeq 68\) pacientes 

15. Se cree que el tiempo semanal que los estudiantes del campus de Melilla dedican al estudio es una variable aleatoria de media desconocida. Si una muestra aleatoria de 12 estudiantes proporciona una media de 15 horas semanales con una desviación típica de 8, calcula:

a) El intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio semanal que los estudiantes del campus de Melilla dedican al estudio.

\(n=12\)                \(\bar{X}=15\)        \(S=8\)


a)\(\bar{X}\pm T_{\alpha /2}\frac{S}{\sqrt{n}}\)

Confianza: \(90%\)             \(\alpha=0,10\)         \(T_{\alpha /2}=T_{0,1/2}=T_{0,05};12=T_{0,05};11=1,79\)

\(15\pm 1,79\frac{8}{\sqrt{12}}\)

El intervalo es: 

\([10,86;19,13]\) horas 

b) El error muestral cometido por el resultado del apartado anterior. 


\(1,79(\frac{8}{\sqrt{12}})=4,13\) horas 

c) El tamaño muestral necesario para obtener una estimación del tiempo medio de dedicación al estudio de los estudiantes del campus de Melilla con una precisión de 3  horas con una confianza del 90%. Se toman los datos anteriores como estudio previo. 

Confianza=\(90%\)                     Error=\(3\) horas 

\(n=\frac{(t_\alpha /2;n-1)^2*S^2}{error^2}\)

\(n=\frac{(1,79)^2*(8)^2}{3^2}\)

\(n=22,78\simeq 23\) estudiantes