Una carta o gráfico de control es un grafico en donde se registran las realizaciones muestrales de una característica de calidad en función del tiempo, permitiendo detectar de manera rápida la presencia de causas asignables del proceso. Estas herramientas, fáciles de usar e interpretar, fueron propuestas en 1920 por W. Shewart.

Las cartas de control son útiles para mejorar la productividad (la aplicación exitosa de las cartas de control reducen los reprocesamientos y los desechos), previenen los defectos y el ajuste innecesario del proceso, permiten la implementación de cambios en el proceso −al comportarse como elementos de diagnóstico− y proporcionan información de gran utilidad para el diseño del producto.

El establecimiento de una carta de control contempla la designación previa del modelo estadístico que gobierna el proceso. Generalmente el modelo subyacente es la distribución normal cuando se analizan características continuas de un producto o la distribución binomial cuando se estudian propiedades de carácter cualitativo.

Una carta de control consta de tres líneas paralelas, separadas a igual distancia: 

  • La línea central (LC) que representa a la media del proceso en estado de control.
  • La línea superior de control (LSC), por encima de la línea central.
  • La línea inferior de control (LIC), por debajo de la línea central.

En el eje vertical de la carta se representa el indicador de la variable cuya calidad se está midiendo, por ejemplo: medias, rangos y proporciones.

Se considera que el proceso es estable o está bajo control si los puntos están situados dentro de los límites superior e inferior de control. Cuanto más cerca están los puntos de la línea central o media, el proceso será más estable.

Es posible, sin embargo, tener procesos que están fuera de control aun cuando todos los puntos están dentro de los límites de control. Esto sucede cuando los puntos presentan patrones de comportamiento no aleatorios que describen: trayectorias cíclicas, estratos o agrupamientos alrededor de la línea de control, desplazamientos en cierta dirección, cambios en el nivel del proceso y cercanías a los límites de control.

Las diversas causas que originan estos patrones pueden ser: cambios ambientales, desgaste de herramientas, cambios en los horarios, ajuste inadecuado de las máquinas, introducción de nuevos trabajadores, cambios en las materias primas, falta de motivación de los operarios, cansancio de los trabajadores, cálculos incorrectos de los parámetros, diversos modelos subyacentes en el proceso, etc. 

Dependiendo del tipo de variable o característica que se controla, hay dos tipos de gráficas de control: gráficas de control para variables y gráficas de control para atributos.

Cartas de control para variables. 

Estas gráficas se utilizan para controlar valores de una variable continua, considerados como características de calidad. Por ejemplo, para controlar la cantidad de líquido vertido en un depósito, el tiempo de realización de una tarea, la temperatura necesaria para un proceso químico, etc.

Si se supone que el modelo para describir los valores de la variable es la distribución normal, bastara con estudiar el cambio de la media y de la varianza del proceso. El cambio de la media del proceso se controla graficando las medias de las muestras con tamaño, generalmente, entre 4 y 6. Estas gráficas, que se refieren a la media, se llaman cartas de control de medias. El cambio de la varianza del proceso se controla graficando los rangos, obteniéndose las cartas de control de rangos.

Cartas de control medias y rangos. 

Cuando los parámetros de la distribución de las medidas que se controlan se conocen, los limites de control de la carta de control de las medias se rigen por la variabilidad natural del proceso. Estos valores son los siguientes:

  • \(LSC:\mu+3\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\)
  • \(LC: \mu\)
  • \(LIC:\mu -3\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\)

Donde \(\mu \) y \(\sigma\) son, respectivamente, la media y la desviación estándar de la variable que describe el proceso, n es el tamaño de las muestras que se toman durante el control.

Una carta con los límites indicados se llama carta a 3 sigmas. Si un proceso está funcionando bajo control, se espera que de 1,000 medias graficadas en esta carta, 3 de ellas estarán fuera de los límites de control, aproximadamente.

Cuando los parámetros del proceso no se conocen, estos deben estimarse y así resultan los límites:

  • \(LSC: \bar{x}+A_{2}\bar{R}\)
  • \(LC: \bar{x}\)
  • \(LIC: \bar{x}-A_{2}\bar{R}\)

Los límites de una carta de control para los rangos R son:

  • \(LSC: D_{4}\bar{R}\)
  • \(LC:\bar{R}\)
  • \(LIC:D_{3}\bar{R}\)

Las constantes \(A_{2}, D_{3}, D_{4}\) dependen del tamaño de la muestra que se utilicen; sus valores se encuentran en la siguiente tabla: 

Los valores \(\bar{x}\) y \(\bar{R}\) se estiman como se indica en el procedimiento que aparece a continuación.

  • Tomar k muestras de tamaño n de la variable que corresponde a la característica en estudio. El número k debe ser mayor o igual a 20 y el tamaño de cada muestra n debe estar entre 2 y 6.
  • Calcular la media \(\bar{x}_{i}\) y el rango \(R_{i}\) de cada muestra.

 

  • Estimar \(\mu\) y R, respectivamente, con  \(\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{k}\bar{x}_{i}}{k}\) y \(\bar{R}=\frac{\sum_{i=1}^{k}R_{i}}{k}\)
  • Calcular los límites de control, tal como antes se indicó.

La media \(\mu\) proceso se estima con \(\bar{x}\), mientras que la desviación estándar  \(\sigma\) puede estimarse con \(\frac{\bar{R}}{d_{2}}\)

Este procedimiento, que proporciona los límites de control, indica la manera de analizar la estabilidad del proceso. Si el proceso está bajo control, estos límites se pueden tomar para monitorear y controlar el proceso durante el periodo llamado de vigilancia.

Ejemplo (Control de calidad de servicios hospitalarios):

Una empresa de servicios hospitalarios ha proyectado atender a los pacientes después de un tiempo de espera comprendido en el intervalo 13 ± 1 minutos. Para controlar si esto se mantiene a lo largo del tiempo se miden los tiempos de espera de 20 grupos de 4 pacientes cada uno. Las medias y los rangos calculados se indican a continuación.

Calculo de los límites de control:

  • \(LSC:\bar{x}+A_{2}\bar{R}=12.6510+0.729(2.0320)=14.1323\)
  • \(LC:\bar{x}=12.6510\)
  • \(LIC:\bar{x}-A_{2}\bar{R}=12.6510-0.729(2.0320)=11.1696\)

El proceso no está bajo control, las medias de las muestras 7 y 15 están fuera de los límites de control. Si se deseara establecer la vigilancia del proceso habría que eliminar las muestras 7 y 15 y recalcular los límites, estableciendo previamente las causas asignables que han dado origen a las observaciones fuera de los límites de control. Se observa que los límites de control inherentes al proceso no coinciden con los límites (13 ± 1), impuestos desde el exterior del proceso. En general, los límites impuestos no necesariamente coinciden con los límites del proceso aun cuando el proceso esté bajo control.

Los límites de control para R son los siguientes:

  • \(LSC: D_{4}\bar{R}:2.282(2.0320)=4.6370\)
  • \(LC:\bar{R}=2.0320\)
  • \(LIC: D_{3}\bar{R}:0(2.0320)=0\)

Cartas de control para atributos.

Estas cartas sirven para registrar valores (llamados atributos) de variables aleatorias discretas, como por ejemplo el número de defectos, el porcentaje de artículos defectuosos.

Los tipos de cartas o graficas de control para atributos son:

  1. Las cartas de control p, que registran el porcentaje de unidades defectuosas.
  2. Las cartas de control np, que registran el número de unidades defectuosas.
  3. Las cartas de control c, que registran el número de defectos observados.
  4. Las cartas de control u, que registran el número de defectos por unidad.

Cartas de control para la proporción de productos defectuosos, p.

En estas cartas se registran a lo largo del tiempo las proporciones de productos que resultan defectuosos o disconformes, al no tener la cualidad que define su calidad.

Al igual que para la carta de las medias, los límites de control de una carta de control para p se construyen considerando que el proceso está bajo control y que debe existir, aproximadamente, el 0.3% de las proporciones fuera de estos límites. El procedimiento es el siguiente.

  1.  Considerar k muestras de tamaño n cada una. Si se conoce históricamente la proporción p de productos defectuosos, los limites de control son:
  • \(LSC: p+3\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
  • \(LC:p\)
  • \(LSC: p+3\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

Los límites se obtienen suponiendo que la distribución de las proporciones se aproxima a la distribución normal.

2. Si no se tiene información histórica de la proporción de productos defectuosos, se calcula la proporción \(p_i\) de defectuosos en cada muestra i. 

3. Los límites de control se estiman con:

  • \(LSC:\bar{p}+3\sqrt{\frac{\bar{p(1-\bar{p})}}{n}}\)
  • \(LC:\bar{p}\)
  • \(LIC:\bar{p}-3\sqrt{\frac{\bar{p(1-\bar{p})}}{n}}\)

Donde \(\bar{p}: \frac{\sum_{i=1}^{k}np_i}{kn}=\left ( \frac{Total de productos defectuosos}{Total de productos en la muestra } \right ) \)

Establecidos los límites de control, las proporciones \(p_i\), para cada muestra, son registradas en la carta para comprobar que no hubo causas asignables que influyeron en el proceso. Si fuera así, se establecen los límites de control y posteriormente se monitorea las proporciones generadas en el proceso.

Ejemplo (control de calidad computadoras):

En la tabla 11.2 se registra el número de computadoras con algún defecto en 12 días de producción.  

Construir un gráfico de control para el porcentaje de computadoras defectuosas. Indicar si el proceso está bajo control.

Solución:  

El estimador de p es \(\bar{p}=\frac{\sum_{i=1}^{12}x_i}{12(1000)}=\frac{41}{12000}=0.003416\) \((LC=0.003416)\)

Los límites de control superior e inferior son: 

  • \(LSC=0.003416+3.\sqrt{\frac{0.003416(1-0.003416)}{1000}}=0.0055\)
  • \(LIC=0.003416-3.\sqrt{\frac{0.003416(1-0.003416)}{1000}}=-0.0055\) (Se considera que LIC es igual a 0, por ser negativo). 

El proceso está fuera de control (la proporción de productos defectuosos de la muestra 9 está fuera de los límites de control). Además deberá ponerse atención a la tendencia creciente del proceso.

Cartas de control para el número de productos defectuosos, np. 

Estos gráficos de control sirven para controlar el número de artículos defectuosos utilizando muestras de tamaño fijo.

El modelo que describe el número de artículos defectuosos en cada muestra de tamaño n, constante, es la distribución binomial de parámetros n y p. Esta distribución puede aproximarse a la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande. Usando esta propiedad, se tienen los límites de control:

  • \(LSC:np+3\sqrt{(np(1-p))}\)
  • \(LC=np\)
  • \(LIC:np-3\sqrt{(np(1-p))}\), cuando \(p\) se conoce

Si  p no se conoce, el número de artículos defectuosos np en cada muestra se estima con:

\(\zeta=n\bar{p}\), donde \(\bar{p}=\frac{\sum_{i=1}^{k}p_i}{k}\)  y k es el número de muestras. 

De esta manera, los límites de control para el número de artículos defectuosos son:

  • \(LSC:n\bar{p}+3\sqrt{(n\bar{p}(1-p))}\)
  • \(LC:n\bar{p}\)
  • \(LIC:n\bar{p}-3\sqrt{(n\bar{p}(1-p))}\)

Si el proceso está bajo control y no existen causas asignables que afecten el proceso, los límites de control quedan establecidos de la manera indicada.

Si existe la evidencia de causas asignables, estas deberán identificarse y hacer las correcciones necesarias y cambiar los límites de control.

Como en el caso de los gráficos de la media y rango, con estos gráficos se trata de mantener el proceso bajo control sin que esto asegure que el proceso satisface las especificaciones o tolerancias que se exigen.

Ejemplo. Control de calidad de computadoras

Usando los datos del problema anterior, se tiene que los límites de control son:

  • \(LSC:1000(0.003416)+3\sqrt{1000(0.003416)(1−0.003416)}=8.9512\)
  • \(LC: 1000(0.003416)=3.416\)
  • \(LSC:1000(0.003416)+3\sqrt{1000(0.003416)(1−0.003416)}=-2.1192\)

 

Bibliografía. 

 Véliz C (2011). Estadística para la administración y los negocios, México: Pearson Educación. 

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