En seguida resolveremos ejercicios relacionados con la distribución normal estandar. Se identifica cual es la media y la varianza y se procede a calcular diferentes probabilidades.

1) Los salarios de los trabajadores en cierta industria son promedio 11,9 dólares por hora y la desviación estándar de 0,4 dólares. Si los salarios tienen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar:

a) ¿Cuál debe ser el salario menor que gana un trabajador que se encuentra entre el 10% de los trabajadores que más ganan?

b) Si el dueño de la industria va a aumentarle el salario al 15% de los trabajadores que menos ganan. ¿Cuál será el salario máximo que deberá ganar un trabajador para ser beneficiado con el aumento?

X= Salario por hora de trabajo

Datos: \(\mu=11,9\)    \(\sigma=0,4\)

a) 

Región de rechazo

\(Z=\frac{X-\mu }{\sigma}\)

\(Z\sigma+\mu=X\) (1)

Se busca en la tabla 3Z el valor que deja 10% del área a la derecha, esto es \(Z=1,28\)

\((1,28)(0,4)+11,9=X\)

\(X=12,412\)

Por tanto, 12,412 es el salario más bajo del 10% de los que más ganan 

b) 

Región de rechazo

Usamos (1) de nuevo 

\(Z=-1,035\)

\(X=(-1,035)(0,4)+11,9\)

\(X=11,486\)

Lo cual significa que el trabajador debe ganar máximo 11,486 para poder ser beneficiado 

 

2) Se encontró que en un conjunto de calificaciones de exámenes finales en un curso tenía distribución normal con media 73 puntos y desviación estándar de 8 puntos

a) ¿Cuál fue la calificación superada sólo por 5% de los estudiantes que hicieron el examen?

b) El profesor sigue el siguiente criterio: Le otorga A a los estudiantes que están ubicados en el 10% de las mejores notas del grupo y usted saca 81 puntos. Suponga que se realiza otro examen en el que la media es 62 y la desviación es 3 y usted saca 68 puntos. ¿En cuál de los 2 exámenes usted queda mejor calificado? ¿Por qué?

X= Calificaciones finales 

Datos: \(\mu= 73\)    \(\sigma=8\)

a) 

\(X=Z\sigma+\mu\)

\(X=(1,645)(8)+73\)

\(X=86,16\)

El 5% de las calificaciones esta por encima de 86,16

b) Examen 1: 

\(X=(1,28)(8)+73\)

\(X=83,24\)

En esta prueba obtuvo 81 puntos. Así, que no clasifico en el grupo A. 

Examen 2: 

\(X=(1,28)(3)+62\)

\(X=65,84\)

En esta prueba obtuvo 68 puntos, lo cual significa que si clasifica. 

 

3) Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en cero sus saldos para no incurrir en intereses morosos. En una muestra de 150 poseedores de esa tarjeta:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en el pago de intereses?

X= Saldo en la cuenta

Datos: \(P=0,30\)         \(n=150\) 

Usamos: 

\(Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}\)

\(np=150*0,30=45\)

\(npq=31,5\)

a) 

\(P(40< X< 60)= P(\frac{40-45}{\sqrt{31,5}}< Z< \frac{60-45}{\sqrt{31,5}})\)

\(P(-0,89< Z< 2,67)\)

\(P(Z< 2,67)-P(Z< -0,89)\)

\(0,9962-0,1867\)

\(=0,8095\)

Región de rechazo

b)

\(P(X< 30)=P(Z< \frac{30-45}{\sqrt{31,5}})\)

\(P(Z< -2,67)\)

\(=0,0038\) 

Región de rechazo