Una serie de tiempo es una serie estadística en la que cada uno de los valores de la variable está referido a un instante o a un periodo de tiempo. Así mismo, es un conjunto de observaciones \(Y_1,Y_2,........,Y_n\) de una variable, obtenidas en los tiempos 1,2,......,n, respectivamente.

Análisis de tendencias

Es el movimiento general a largo plazo de los valores de la serie de tiempo (Y) sobre un extenso periodo de años. La tendencia de una seryie de tiempo caracteriza el patrón gradual y consistente de las variaciones de la propia serie, que se consideran consecuencias de fuerzas persistentes que afectan el crecimiento o la reducción de la misma.

Su comportamiento se ajusta a una línea recta, llamada por esta razón línea de tendencia, es decir, se aproxima a una ecuación de recta, que recibe el nombre de ecuación de tendencia y que es de la forma:

\(y=a+bt\)

Donde: 

y= Valor proyectado, estimado o pronosticado de la variable y. 

a= Punto donde la recta corta al eje y. 

b= Pendiente de la recta de tendencia. 

t= Cualquier valor de tiempo seleccionado. 

Variación cíclica

Movimientos ascendentes y descendentes respecto de las tendencias recurrentes, con una duración de varios años. 

Variación estacional

Movimientos ascendentes y descendentes respecto de la tendencia que se consuman al término de un año y se repiten anualmente,  estas variaciones suelen identificarse con base con base a datos mensuales o trimestrales.

Variación irregular

Son variaciones erráticas respecto de la tendencia que no puedan atribuirse a las influencias cíclicas o estacionales. 

Números índice

Es un indicador que describe los cambios de una variable en el tiempo, es decir su evolución a lo largo de un determinado periodo.

Ejemplo:

En la siguiente tabla se encuentran los datos de las ventas de los últimos cinco años de una empresa en el ramo de alimentos: 

a) Gráfico: Con los datos que se tienen se obtiene la siguiente gráfica

Gráfico de tendencia

b) Determinar la ecuación de tendencia: Para determinar los coeficientes de la ecuación se debe construir una tabla con los datos necesarios:

Año   \(y\)  \(t\)  \(ty\)  \(t^{2}\) 
2003   7
2004  10  20 
2005  27 
2006  11  44  16 
2007  13  65  25 
Totales   50  15  163  55 


Se sustituyen los valores en las fórmulas respectivamente: 

\(b=\frac{n(\sum ty)-(\sum x)(\sum t)}{n(\sum t^{2})-(\sum t)^{2}}=\frac{5(163)-(50)(15)}{5(55)-(15)^{2}}=1.3\)

\(a=\frac{\sum y}{n}-b\frac{\sum t}{n}=\frac{50}{5}-1.3\frac{15}{5}=6.1\)

Habiendo calculado los coeficientes, entonces la ecuación de tendencia queda: 

\(y=6.1+1.3t\)

Ahora se interpreta de la siguiente manera:

Las ventas se expresan en millones de pesos, el origen o año 0, es 2003 y t aumenta una unidad por año. El valor 1.3 indica que las ventas aumentan a razón de 1.3 millones de pesos por año. El valor 6.1 es el de las ventas estimadas cuando \(t = 0\). Es decir, el monto de las ventas estimadas para el año 2003 es igual a 6.1 millones de pesos.

c) Para trazar la recta, se deben tener dos puntos, para el primero de ellos se puede utilizar el valor 6.1 de la ecuación anterior y el segundo se puede obtener asignando un valor cualquiera a x, dentro del rango del intervalo del que se dispone, por ejemplo 4 (año 2006) para obtener el valor de y, es decir: 

\(y=6.1+1.3t=6.1+1.3*(4)=11.3\)

Con lo que ya se puede trazar la Recta de Tendencia

linea de tendencia

Ejemplo 2: Cálculo de análisis de variaciones cíclicas

Para los datos del ejemplo anterior: 

a) Para estimar los ciclos relativos, se debe construir una tabla con los cálculos necesarios 

Año  \(t\)   \(y\) (real)   \(Y\) (estimada)  Ciclo relatico 
2003  7.4  94.6 
2004  10  8.7  114.9 
2005  10  90 
2006  11  11.3  97.3 
2007  13  12.6  103.2 


Donde: \(El ciclo relativo= \frac{y original}{y real}\)

Con los datos anteriores se construye la siguiente gráfica: 

ciclo relativo

La cual se interpreta de la siguiente manera: 

Los años 1 (2003), 3 (2005) y 4 (2006) tienen menor influencia cíclica que los años 2 (2004) y 5 (2007) que tienen una mayor influencia cíclica.

Ejemplo 3: Cálculo de variaciones estacionales

Los datos siguientes representan las ventas trimestrales en millones de pesos de la empresa Kids Fashions especializada en la venta de ropa infantil ubicada en la zona centro de la ciudad de Toluca:

a) gráfica: Como puede apreciarse, en cada año, las ventas del cuarto trimestre son las más altas y las del segundo las más bajas. También puede apreciarse un incremento en las ventas de un año a otro.

series de tiempo

b) Obtener los índices estacionales trimestrales: Para llegar al índice estacional trimestral se deben construir dos tablas, la primera de ellas, se calcula como sigue: 

Columna (1). Son los datos originales 

Columna (2). Total móvil de cuatro trimestres, por ejemplo: \(6.7 + 4.6 + 10.0 + 12.7= 34\) que se coloca al centro de cuatro cuatrimestres que se suman. Enseguida la suma se va moviendo un trimestre, es decir, el siguiente es: \(4.6 + 10.0 + 12.7 + 6.5 = 33.8\) y así, sucesivamente.

Columna (3). Promedio móvil de cuatro trimestres, es decir, ya solo hay que dividir los totales anteriores entre 4 y colocar el resultado frente a su correspondiente. Por ejemplo: \(34/4 = 8.500\), \(33.8/4=8.450\), etcétera.

Columna (4). Promedio móvil centrado, ahora se centran los promedios móviles, es decir, se suman los dos promedios móviles y se dividen entre 2, el resultado de esto se centra entre los dos valores sumados quedando centrado con el trimestre correspondiente, por ejemplo: \((8.500 + 8450)/2 = 8.475\) que queda centrado con el trimestre 3 del año 2002, el segundo sería \((8.450 + 8.450)/2 = 8.450\) que queda centrado con el trimestre cuatro del año 2002.

Columna (5). Valor estacional específico, se calcula dividiendo las ventas originales (columna 1) entre el promedio móvil centrado (columna 4), por ejemplo: \(10.0/8.475=1.180\), el segundo es \(12.7/8.450=1.503\), etcétera. 

La segunda tabla se construye de la siguiente forma:

Se acomodan en un cuadro los valores estacionales específicos obtenidos antes, para enseguida:

  • Calcular la media modificada de cada trimestre, esta se obtiene sumando los valores obtenidos pero sin considerar los valores más alto y más bajo, por ejemplo: \((0.772 + 0.775 + 0.753)/3 = 0.766\)
  • Obtener el índice estacional multiplicando la media obtenida por el factor de corrección o ajuste que se calcula con la fórmula que aparece al pie del cuadro siguiente:

c) Interpretación: Estos índices calculados implican que: 

  • Para el trimestre 1, cuyo índice es 76.466 significa que las ventas en este trimestre estarán \((100 – 76.466 = ) 23.534%\) por abajo del promedio típico.
  • Para el trimestre 2, cuyo índice es 57.300 significa que las ventas en este trimestre estarán \((100 – 57.300 =) 42.700%\) por abajo del promedio típico.
  • Para el trimestre 3, cuyo índice es 113.601 significa que las ventas en este trimestre estarán \((113.601 – 100 =) 13.601%\) por arriba del promedio típico.
  • Para el trimestre 4, cuyo índice es 152.633 significa que las ventas en este trimestre estarán \((152.633 – 100 =) 52.633%\) por arriba del promedio típico.
d) Para calcular el valor ajustado por el índice estacional ya solo hay que dividir los valores originales desestacionalizados entre su respectivo índice estacional trimestral, por ejemplo para el trimestre 1 del año 2002: \((6.7/76.466)*100 = 8.76\), es decir:

Su gráfica quedaría como sigue: 

serie de tiempo

Como puede apreciarse, la diferencia entre las ventas de un trimestre a otro en realidad no es tan marcada como lo reflejan las ventas originales, aquí puede notarse que efectivamente de un año a otro las ventas aumentan pero, sin embargo entre un trimestre y otro, en el mismo año, no tienen lugar grandes incrementos.

Ejemplo 4: con los siguientes datos, calcular el índice laspeyres.Donde \(IPL=\frac{\sum p_{ti}q_{oi}}{\sum p_{oi}q_{oi}}\)

Se obtiene multiplicando los precios de cada bien en este año dado por las cantidades del año base, dividido por el producto de cada bien en el año base y las cantidades del año base.

Datos: 

   Precio   Cantidad  
Producto  Año 0  Año 1  Año 0  Año 1 
Arroz  24  32  100  80 
Maíz  18  12  40  40 
Trigo  20  40  50  70 

Calculo:

\(IPL=\frac{32*100+12*40+40*50}{24*100+18*40+20*50}*100\)

\(IPL=\frac{5680}{4120}*100=137.8\)

Podemos observar que el valor de las cantidades del año base aumento un 37.8% como resultado de incremento en los precios entre el año 0 y 1.

Aplicación

índices de estacionalidad de los precios medios recibidos por los productores de manzanas chilenas

A partir de este análisis, se estimaron los precios medios recibidos por los productores. Se estimaron patrones de estacionalidad ajustada de los precios recibidos por los productores de manzanas chilenas, a través del método del promedio geométrico móvil. Para las estimaciones se consideraron los precios FOB promedio mensuales desde enero de 1990 a septiembre de 2004.

Se calculó el índice estacional (IE) para cada mes, dividiéndose el precio medio real recibido por los productores entre el promedio centrado de 12 meses; este resultado fue multiplicado por 100, para convertir la razón en un número índice. Se obtuvo un IE para un total de 165 meses, desde julio de 1990 a marzo de 2004, con 13 IE para los meses de abril, mayo y junio, y 14 para cada uno de los restantes meses.

Resultados:

La comparación de los precios medios estimados a productor y los precios medios FOB sugiere que las empresas exportadoras transfieren a los productores un porcentaje de variabilidad mayor que las que ellas enfrentan en los mercados internacionales de manzanas frescas chilenas; lo cual se comprueba al observar el CV anual, estimado para cada serie de precios. Lo anterior se explica por la fórmula de cálculo de los precios medios a productor, la cual incorpora una componente variable (comisión, expresada como porcentaje del precio medio FOB) y una componente fija (tarifas, expresada en US$ kg-1).

La evolución de los precios medios estimados a productor, para las series original y desestacionalizada, se muestran en la Figura.

series original y desestacionalizada

Los resultados obtenidos, contribuyen a mejorar el conocimiento del funcionamiento de los mercados y a conocer el comportamiento de los precios, tanto para las empresas exportadoras como para los productores.

Herramienta de apoyo

Identifique si los siguientes datos presentan estacionalidad. Para ello utilizamos la herramienta estadística SPSS mediante:

Ventas  Año 
42  2000 
50  2001 
61  2002 
75  2003 
92  2004 
111 2005 
120  2006 
127 2007
140 2008
138 2009

Paso 1: Se ingresan los datos al SPSS

pasos en spss

Paso 2: Seleccionamos en el menú analizar, luego series temporales y por último gráfico de frecuencias.

pasos series en spss

Paso 3:Introducimos las variables correspondientes

pasos series en spss

Paso 4: Lo que genera

pasos serie en spss

Interpretación: la observación del grafico pone de manifiesto una tendencia creciente y no presenta un patrón estacional.
 

 

 Bibliografía