Procedimiento estadístico que, a través del estudio de una muestra aleatoria, permite determinar el cumplimiento de una hipótesis planteada sobre alguna característica de la población.

1) Una revista de viajes de negocios desea clasificar los aeropuertos internacionales con base en una evaluación que va desde un mínimo de 0 hasta un máximo de 10 y aquellos aeropuertos que obtengan una media mayor de 7 serán considerados de servicio superior. Para obtener los datos de evaluación, el personal de la revista entrevista a una muestra de 60 viajeros de negocios de cada terminal aeroportuaria. En la muestra tomada en el aeropuerto Heathrow de Londres la media muestral es de 7.25 y la desviación estándar muestral es de 1.052. Con base a los datos muestrales. ¿Haethrow deberá ser designado como un aeropuerto de servicio superior?
  • Hipótesis nula: 
\(H_0=\mu < 7\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1:\mu > 7\)
  • Nivel de significación: \(5%\)
  • Estadístico: \(Z\) 
  • Calculo del estadístico: 
\(Z=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{7.25-7}{1.052/\sqrt{60}}=1.8407\)
  • Valor y región crítica: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a \(Z_{1-\alpha }\)

\(Z_{1-\alpha }=Z_{1-0.05}=1.64\)          Graficamente: 

  • Decisión: 
El estadístico cálculo se encuentra en la región de rechazo. Existe suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula Ho a un nivel se significancia del 10%, concluyendo que Haethrow deberá ser designado como un aeropuerto de servicio superior.

2) Una empresa distribuye sus productos a través de más de 1,000 puntos de venta. Al planear sus niveles de producción para la temporada de invierno siguiente, debe decidir cuantas unidades de cada producto fabricar andes de saber cuál será la verdadera demanda de cada tienda. El gerente de Marketing de Holiday espera que su juguete de novedad más importante de este año tenga una demanda de 40 unidades en promedio por punto de venta. Antes de tomar una decisión final de producción con base en dicha estimación, la empresa decide levantar una encuesta en una muestra de 25 puntos de venta con objeto de obtener más información acerca de la demanda del nuevo producto. A cada uno de estos puntos se les proporciona información sobre las características del nuevo juguete e información sobre el costo y el precio de venta sugerido. Después se le pide que anticipe la cantidad que solicitará. De los 25 puntos de ventas 21 demandan una cantidad promedio de 43 juguetes con desviación estándar de 6 unidades. Probar que realmente la cantidad demandada en los puntos no difiere de 40 juguetes.

  • Hipótesis nula:
\(H_0:\mu =40\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: \mu \neq 40\)
  • Nivel de significación: 5% 
  • Estadístico a utilizar Z 
  • Calculo del estadístico:
\(Z=\frac{\bar{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\frac{43-40}{6/\sqrt{25}}=2.5\)
  • Valores y región de rechazo:
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a \(Z_{1-\alpha /2}=Z_{1-0.05/2}=1.96\) o menor a \(Z_{\alpha/2}=Z_{0.05/2}=-1.96\)

Graficamente: 

  • Decisión:
Se rechaza la hipótesis nula al estar el estadístico calculado en la región derechazo con un nivel de significancia del 5%. La cantidad de productos demandados en los puntos de venta difiere de 40 juguetes.

3) Establecer la hipótesis nula y alternativa para cada una de las situaciones siguientes:

  • Un fabricante de aviones necesita láminas de aluminio de 0.03 pulgadas de espesor en promedio, ni más ni menos
Hipótesis nula: 

\(H_0: \mu =0.03\)

Hipótesis alternativa: 

\(H_1: \mu \neq 0.03\)

  • Un fabricante de aviones necesita varillas de acero especial con una resistencia promedio a la tracción de al menos 5000 libras
Hipótesis nula:

\(H_0: \mu < 5000\)

Hipótesis alternativa:

\(H_1: \mu > 5000\)

  • Un fabricante de computadoras desea probar lo dicho por un supervisor acerca de que el ensamble de una computadora promedia al menos 40 minutos.
Hipótesis nula:

\(H_0: \mu < 40\)

Hipótesis alternativa:

\(H_1: \mu > 40\)

Igualdad de razones (proporciones en poblaciones finitas)

4) Se está considerando la compra de un negocio. El dueño del negocio ha establecido que no más del 25% de sus cuentas por cobrar tienen un vencimiento superior a 30 días. Con una muestra de 50 cuentas, se prueba que la proporción muestral a un nivel de significancia de 0.5. Establezca la hipótesis nula y alternativa, así como la regla de decisión apropiada. Establezca la conclusión si la proporción muestral \(\bar{p}\) es 0.29

  • Hipótesis nula: 
\(H_0=p> 0.25\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1=p< 0.25\)
  • Nivel de significancia: 5% 
  • Estadístico: Z
  • Calculo del estadístico: 
\(Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}=\frac{0.29-0.25}{\sqrt{\frac{0.29(1-0.29)}{50}}}=0.6233\)
  • Valor y región de rechazo: 
Rechazamos la hipótesis nula si el estadístico calculado es: 

\(Z_{\alpha }=Z_{0.05}=-1.6449\)

  • Decisión: 
El estadístico de calculado es de 0.6233 no se encuentra en la región de rechazo, por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula concluyendo que es falso lo que plantea el dueño del negocio ha establecido que no más del 25% de sus cuentas por cobrar tienen un vencimiento superior a 30 días.

5) Una compañía automovilística anuncia que el 90%de los dueños de sus autos nuevos está satisfecho con su compra. El centro de producción, quiere determinar si esto es cierto para sus propios clientes. De 40 clientes localizados, 35 indicaron que están satisfechos. ¿Es el porcentaje de clientes satisfechos del centro de producción es tan alto como se indica en la publicidad de la compañía? Realice una prueba con 0.1 de nivel de significancia.

  • Hipótesis nula: 
\(H_0: p=0.90\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(p\neq 0.90\)
  • Nivel de significancia: 10%
  • Estadístico a utilizar: Z 
  • Calculo del estadístico: 
\(\hat{p}=\frac{35}{40}=0.875\)

\(Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}=\frac{0.875-0.90}{\sqrt{\frac{0.875(1-0.875)}{40}}}=0.4780\)

  • Valor y región crítica: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(Z_{1-\alpha/2}=Z_{1-0.10/2}=1.64\) o menor a \(Z_{\alpha/2}=Z_{0.10/2}=-1.64\) Graficamente: 

  • Decisión: 
El estadístico calculado de 0.478 no se encuentra en la región de rechazo. Por lo tanto se determina que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, lo que afirma la compañía automovilística al anunciar que el 90%de los dueños de sus autos nuevos está satisfecho con su compra es falso. El porcentaje es menor al 90%.

Prueba con medias: 

6) Bill Ford, gerente del hotel Bon Resort, cree que la cuenta promedio para los huéspedes es como mínimo de 400 dólares. La población tiene una distribución normal con una desviación estándar de 60 dólares. Establezca la regla de decisión para un nivel de significancia de 0.15, si se estudia una muestra de 49 cuentas. Si la media muestral es de 375 dólares, ¿A qué conclusión llegara Bill? Calcule el valor de p

  • Hipótesis nula: 
\(H_0: \mu < 400\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: \mu > 400\)
  • Nivel de significancia: 15% 
  • Estadístico a utilizar: Z 
  • Calculo del estadístico: 
\(Z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{375-400}{60/\sqrt{49}}=-2.9166\)
  • Valor y región crítica: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a

 -\(Z_{1-\alpha }=Z_{1-0.15}=1.0364\)     Graficamente: 

  • Decisión: 
El estadístico calculado es de -2.9166 no se encuentra en la región de rechazo. Así que retenemos la hipótesis nula, lo que afirma el gerente del hotel Bon Resort, cree que la cuenta promedio para los huéspedes es como mínimo de 400 dólares es totalmente falso porque no sobrepasa los 400 dólares.

7) La compañía Howell Manufacturing fabrica cojinetes. La experiencia pasada indica que el proceso de producción sigue una distribución normal y fabrica cojinetes con un diámetro promedio de 2.1 pulgadas y una desviación estándar de 0.12 pulgadas. Se seleccionaron 19 cojines al azar de la línea de producción y se encuentra un diámetro promedio de 1.9 pulgadas ¿A qué conclusión llegaría usted si hace una prueba a un nivel de significancia de 0.05? calcule el valor de p.

  • Hipótesis nula: 
\(H_0: \mu=2.1pulg\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1:\mu\neq 0.90\)
  • Nivel de significancia del 5%
  • Estadístico a utilizar Z  
  • Calculo del estadístico: 
\(Z=\frac{\bar{x}-\mu }{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{1.9-2.1}{0.12/\sqrt{19}}=-7.2648\)
  • Valor y región critica: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 
\(Z_{1-\alpha/2}=Z_{1-0.05/2}=1.96\) menor a \(Z_{\alpha /2}=Z_{0.05/2}=-1.96\)    Graficamente: 

  • Decisión: 
Existe suficiente evidencia estadística en la muestra de 19 cojines para rechazar la hipótesis nula con un nivel de significancia del 5%, concluyendo que el diámetro promedio de los cojines de diferente a los 2.1 pulgadas.

8) La compañía de juguetes Canon compra baterías para sus juguetes eléctricos. El proveedor garantiza que las baterías duran un promedio de 19 horas. Después de recibir quejas de los clientes, Canon eligió al azar 10 baterías de su inventario y midió su duración. Los resultado fueron:

Suponga que la vida útil de estas baterías sigue una distribución normal y prueba que la garantía del proveedor con un nivel de significancia de 0.10

Donde la media es de \(\bar{x}=\frac{\sum xi}{n}=\frac{187.72}{10}=18.772\)

Y Desviación estándar S= 0.8724 

  • Hipótesis nula:
\(H_0: \mu =19 horas\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: \mu \neq 19 horas\)
  • Nivel de significancia del 10%
  • Estadístico a utilizar T-Student porque la varianza poblacional es desconocida y el tamaño de muestra es pequeño 
  • Calculo del estadístico: 
\(T=\frac{\bar{x}-\mu }{S/\sqrt{n}}=\frac{18.772-19}{0.8724/\sqrt{10}}=-0.8264\)
  • Valor y región critica

Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(T_{1-\alpha /2}=T_{1-0.10/2}=2.26\) o menor a \(T_{\alpha /2}=T_{0.10/2}=-2.26\)     Graficamente: 

  • Decisión: 
El estadístico calculado de -0.82 no se encuentra en la región de rechazo. A través de una muestra de 10 baterías el proveedor está en lo correcto al garantizar que las baterías duran un promedio de 19 horas exactas.

Diferencia entre dos proporciones

9) La Pacific Northwest Electric, una importante compañía que suministra gas y electricidad, tiene intenciones de comprar una empresa más pequeña: Idaho Ligh and Power. El asesor financiero de Pacific informa que hay una proporción mayor de hombres accionistas que de mujeres accionistas que apoyan la compra. Kim Gamble, presidenta de Pacific, ha pedido a Eddie Kennedy, el estadístico de la empresa, que lleve a cabo una encuesta telefónica de una muestra aleatoria de accionistas para confirmar este informe. Eddie muestrea 1,000 accionistas (400 hombres y 600 mujeres) y determina que 220 hombres y 320 mujeres apoyan la compra.

a) Establezca la hipótesis nula y alternativa: 

Hipótesis nula: 

\(H_0: p_H-p_M< 0\)

Hipótesis alternativa: 

\(H_1: p_H-p_M>  0\)

b) Establezca la regla de decisión, si Eddie hace la prueba a un nivel de significancia de 0.05: 

Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(Z_{1-\alpha }=1.64\)        Graficamente: 

 Encontramos las proporciones en la muestra: 

\(p_H:\frac{220}{400}=0.55\)

\(p_M:\frac{320}{600}=0.533\)

Estadístico calculado: 

\(Z=\frac{p_1-p_2-0}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\)

\(Z_0=\frac{0.55-0.533-0}{\sqrt{\frac{0.55(1-0.55)}{400}+\frac{0.533(1-0.533)}{600}}}=0.5287\)

El estadístico calculado no se encuentra en la zona de rechazo de la hipótesis nula.

c) ¿Cuál deberá ser la conclusión de Eddie?

Los resultados de las muestran indican que es falso que la hay una mayor proporción mayor de hombres accionistas que de mujeres accionistas que apoyan la compra.

10) Una televisora desea saber si hay alguna diferencia en la proporción de hombres (A) y mujeres (B) que gustan de un programa sobre otro durante cierto segmento de tiempo. Se toman dos muestras aleatorias simples de 100 personas cada una entre la población de adultos de la ciudad. Después de tomar las muestras, el gerente encuentra proporciones de \(P_A=0.6\) y \(P_B=0.7\) 

  • Hipótesis nula: 
\(H_0: p_A-p_B=0\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: p_A-p_B\neq 0\)
  • Nivel de significancia del 5%
  • Estadístico a utilizar Z 
  • Calculo del estadístico 
\(Z=\frac{p_1-p_2-0}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\)

\(Z_0=\frac{0.6-0.7-0}{\sqrt{\frac{0.6(1-0.6)}{100}+\frac{0.7(1-0.7)}{100}}}=-1.49\)

  • Valor y región critica: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(Z_{1-\alpha/2}=Z_{1-0.05/2}=1.96\) O menor a \(Z_{\alpha/2}=Z_{0.05/2}=-1.96\)         Graficamente: 

 

  • Decisión: 
El estadístico calculado no se encuentra en la zona de rechazo a un nivel de significancia del 5%, concluimos que no existe diferencia alguna en la proporción de hombres (A) y mujeres (B) que gustan de un programa sobre otro durante cierto segmento de tiempo.

Diferencias con dos medias

11) La corporación Hewlet-Desoto está planeando construir una nueva planta, ya sea en Waukegan (Illinois) o en Madison (Wisconsing). Si el costo de casa nuevas es significativamente menor a una de las ciudades en relación a otra, podrán la planta allí. Se lleva a cabo un estudio para determinar si el costo promedio de las casas es significativamente menor en Waukegan o en Madison. Los resultados de las muestras aleatorias son:

\(\bar{x_1}=82,000\)

\(\bar{x_2}=77,500\)

\(S_1=10,525\)

\(S_2=9830\)

\(n_1=60\) (Waukegan) 

\(n_2=60\) (Madison) 

  • Hipótesisi nula: 
\(H_0: \mu_1-\mu_2> 0\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: \mu_1-\mu_2< 0\)
  • Nivel de significancia 5%
  • Estadístico a utilizar Z
  • Calculo del estadístico: 
 \(Z=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_1}+\frac{S_{2}^{2}}{n_2}}}\)

\(Z=\frac{82000-77500-(0)}{\sqrt{\frac{10525^{2}}{60}+\frac{9830^{2}}{60}}}=2.42\)

  • Valor y región critico: 
Rechazamos la hipótesis nula si el estadístico calculado es menor a: 

\(Z_{\alpha }=Z_{0.05}=-1.6449\)

  • Decisión: 
El estadístico cálculo no se encuentra en la región de rechazo a un nivel de significancia del 5%. Al no rechazar concluimos que los costos promedios en Waukegan son mayores a los de Madison.

12) La compañía General Automobile está considerando la compra de baterías a gradel de dos proveedores. Se selecciona al azar 15 baterías de cada proveedor y se prueban. Las vidas medias son:


\(\bar{x_1}=1345\) horas

\(\bar{x_2}=1310\) horas

\(S_1=31\) horas

\(S_2=28\) horas

\(n_1=15\) (A) 

\(n_2=15\) (B) 

a) Establezca las hipótesis nula y alternativa: 

Hipótesis nula: 

\(H_0: \mu_1-\mu_2=0\)

Hipótesis alternativa: 

\(H_1:\mu _1-\mu_2\neq 0\)

b) ¿Cuál será la conclusión del General Automobile si la prueba se hace a un nivel de significancia de 0.05?

\(Z=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_1}+\frac{S_{2}^{2}}{n_2}}}\)

\(Z=\frac{1345-1310-(0)}{\sqrt{\frac{31^{2}}{15}+\frac{28^{2}}{15}}}=3.24\)

Región de rechazo: 

Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(Z_{1-\alpha /2}=Z_{1-0.05/2}=1.96\) o menor a \(Z_{\alpha /2}=Z_{0.05/2}=-1.96\)

El estadístico calculado se encuentra en la región derecha de rechazo, las vidas medias de los dos proveedores difieren en sus vidas medias.

Muestras de pares asociados

13) Un fabricante vende dos modelos de un producto, A y B y ha sugerido a los vendedores al menudeo en todo el país que los precios de los dos modelos deben conservarse iguales; desea comprobar si esta sugerencia es seguida y muestrea a diez distribuidores, lo cuales venden ambos modelos. Después de tomar la muestra, el estadístico de la compañía encuentra una diferencia promedio en los precios del modelo A vs B de 18.23 dólares, junto con una desviación estándar de 1.25.

  • Hipótesis nula: 
\(H_0: \mu_A-\mu_B=0\)
  • Hipótesis alternativa: 
\(H_1: \mu_A-\mu_B\neq 0\)
  • Significancia del 5%
  • Estadístico a utilizar T 
  • Calculo del estadístico:
\(T=\frac{\bar{d}}{S_d}=\frac{18.23}{1.25}=14.584\)
  • Región de rechazo: 
Se rechaza \(H_0\) si el estadístico calculado es mayor a: 

\(T_{1-\alpha /2}=T_{1-0.05/2}=2.26\) o menor a \(T_{\alpha/2,n-1}=T_{0.05/2}=-2.26\)           Graficamente:

  • Decisión: 
El valor del estadístico de prueba pertenece a la región de rechazo, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula, se concluye que los precios para los dos modelos de productos difieren.

14) Katrina Bell, analista de la compañía petrolera Hexaco, ha sido asignada para investigar la afirmación de que los distribuidores de Hexaco cobran más por la gasolina sin plomo que los distribuidores independientes. Katrina tema que si elige dos muestras aleatorias independientes de estaciones de servicio para cada tipo de distribuidor, la variabilidad en el precio debida a la localización geográfica pueda ser un factor que altere los resultados. Para eliminar esta fuente de variabilidad, elige un par de gasolineras (una independiente y una de Hexaco), con proximidad geográfica. Los resultados del muestreo de Katrina son:

 

a) Establezca la hipótesis nula y alternativa

Hipótesis nula: 

\(H_0: \mu _{hexaco}-\mu _{indep}< 0\)

Hipótesis alternativa:

\(H_1: \mu _{hexaco}-\mu _{indep}>  0\)

b) Establezca la regla de decisión si Katrina lleva a cabo a un nivel de significancia de 0.01

Se rechaza la hipótesis nula si: 

\(t_{calculado}> t_{\alpha,n-1}\)

\(t_{0.01,11-1}=2.76\)

Región de rechazo: 

\(t=\frac{\frac{\sum x}{n}-\mu_d}{\frac{\sqrt{\frac{\sum (x-x_d)^{2}}{n}}}{\sqrt{n-1}}}\)

\(t=\frac{\frac{6}{11}-0}{\frac{\sqrt{\frac{11,82}{11}}}{\sqrt{11-1}}}=1.66\)

El valor t calculada no se encuentra en la región de rechazo.

c) ¿Cuál deberá ser la conclusión de Katrina?

Existe suficiente evidencia en la muestra para no rechazar la hipótesis nula, se concluye que los distribuidores de Hexacono cobran más por la gasolina sin plomo que los distribuidores independientes.